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はじめに：3.14の日
今日、3月14日はホワイトデー。そして、「円周率の日（パイの日）」でもあります。円周率の値「3.14」にちなんだ記念日で、1988年にアメリカの科学館で始まったお祝いが、世界中に広がりました。2019年には、ユネスコがこの日を「国際数学の日」と定めています。ちなみに、3月14日は、物理学者アインシュタインの誕生日でもあります。
小学校で習った「3.14」。でも、その数字の裏には、何千年にもわたる人類の挑戦の物語があります。この記事では、知るほど面白い円周率の世界をご紹介します。
第1章：円周率とは？
円周率とは、円の周りの長さ（円周）が、円の直径の何倍になっているかを表す数です。ギリシャ文字の「π（パイ）」で表されます。
どんなに大きな円でも、どんなに小さな円でも、円周を直径で割ると、必ず同じ数になります。その値は、3.14159265358979……と、小数点以下がどこまでも続き、しかも同じ数字の並びが繰り返されることはありません。このような数を「無理数」と呼びます。
身近な例でいえば、直径1メートルの自転車の車輪が1回転すると、約3.14メートル進むことになります。
第2章：円周率に挑んだ人々
2-1. 古代の人々
円周率がおよそ3であることは、古代の人々も知っていました。古代エジプトやバビロニアでは、3.1や3.16に近い値が使われていたと考えられています。
2-2. アルキメデスの方法
紀元前3世紀、古代ギリシャの数学者アルキメデスは、円周率を計算で求めようとしました。彼のアイデアは、円の内側と外側に、ぴったり接する正多角形を描くというものです。
円の周りの長さは、内側の多角形の周りより長く、外側の多角形の周りより短いはずです。多角形の辺の数を増やしていくほど、多角形は円に近づき、円周率をより正確に挟み込むことができます。アルキメデスは、正96角形まで計算を進め、円周率が3.1408より大きく、3.1429より小さいことを示しました。
2-3. 江戸時代の日本の数学者
日本でも、江戸時代に独自の数学「和算」が発展し、多くの数学者が円周率の計算に挑みました。関孝和は、正13万1072角形を使った計算などで、円周率を小数点以下10桁以上まで正しく求めたといわれています。その弟子の建部賢弘は、さらに40桁以上を求めることに成功しました。当時の世界でも、最先端の水準でした。
第3章：コンピュータが挑む「数百兆桁」
20世紀にコンピュータが登場すると、円周率の計算は一気に進みました。1949年には、初期のコンピュータが約2,000桁を計算。その後、計算の記録は、百万桁、十億桁、一兆桁と伸び続け、近年では、数百兆桁という、気の遠くなるような桁数まで計算されています。
なぜ、そこまで計算するのでしょうか。実用的な理由というよりは、コンピュータの性能を試すため、そして、新しい計算方法を開発するための挑戦でもあるのです。
第4章：知るほど面白い円周率の雑学
4-1. NASAが使う桁数は？
宇宙探査機の軌道を計算するような、非常に精密な計算でも、NASAのジェット推進研究所が使う円周率は、小数点以下15桁程度だと紹介されています。それだけで、太陽系の中を飛ぶ探査機の位置を、十分な精度で計算できるのです。
4-2. 「円周率は3でいい」騒動
2000年ごろ、「ゆとり教育で、円周率は3で教えることになった」という話が広まり、話題になりました。実際には、学習指導要領で、計算の目的に応じて「3」を使って処理できるように配慮するとされたもので、3.14を教えなくなったわけではありませんでした。概算として「およそ3」で考えることも、大切な数学の力のひとつです。
4-3. 円周率を何桁覚えられる？
円周率の暗記に挑戦する人も世界中にいます。数万桁、なかには10万桁を暗唱したという記録も報告されています。日本では「産医師異国に向こう（3.14159265）」のような、語呂合わせの覚え方も有名です。
4-4. 円と同じ面積の正方形はつくれない
古代から、多くの数学者が「定規とコンパスだけを使って、円と同じ面積の正方形をつくれるか」という問題に挑みました。19世紀になって、円周率が特別な性質を持つ数（超越数）であることが証明され、この作図は不可能であることがわかりました。
第5章：おうちで円周率を確かめてみよう
円周率の日に、子どもと一緒に楽しめる実験をご紹介します。
- コップやお皿、缶など、丸いものをいくつか用意する。
- ひもやメジャーで、円の周りの長さを測る。
- 定規で、直径を測る。
- 周りの長さを直径で割ってみる。
どの丸いものでも、だいたい3.1くらいになるはずです。大きさの違うものでも同じ数になることを、自分の手で確かめると、円周率の不思議さを実感できます。
第6章：3月14日は「国際数学の日」でもある
3月14日は、円周率の日として親しまれているだけでなく、ユネスコ（国連教育科学文化機関）が2019年に定めた「国際数学の日」でもあります。円周率の日にちなんで、この日が選ばれたといわれており、2020年から、世界中で数学の楽しさや大切さを伝えるイベントが開かれています。
また、3月14日は、相対性理論で知られる物理学者アルベルト・アインシュタインの誕生日（1879年）でもあります。さらに、車いすの天才物理学者として知られたスティーヴン・ホーキングが亡くなったのも、2018年の3月14日でした。科学の歴史に名を残した2人の人物と、円周率の日が重なっているのは、なんとも不思議な偶然です。
アメリカでは、円周率の日に、「π（パイ）」の発音にかけて、丸い「パイ」を食べてお祝いする習慣があるといわれています。数学をもっと身近に楽しもうという、ユーモアあふれるお祝いの仕方ですね。
第7章：円とは関係なさそうな場所に現れるπ
円周率は、その名のとおり、円に関係する数です。でも、不思議なことに、πは、一見、円とはまったく関係なさそうな場所にも、ひょっこりと顔を出します。
針を落とすだけでπがわかる？――ビュフォンの針
18世紀のフランスの博物学者ビュフォンは、こんな問題を考えました。床に、等しい間隔で平行な線を引き、その上に、線の間隔と同じ長さの針を、でたらめに落とします。このとき、針が線と交わる確率は、2÷πになるのです。つまり、針を何千回も落として、線と交わった割合を調べれば、そこから円周率を求めることができるのです。
数を足していくと、πが現れる
1＋1/4＋1/9＋1/16＋1/25＋……と、1を「整数の2乗」で割った数を、どこまでも足していくと、その合計は、π²÷6に近づいていきます。この問題は「バーゼル問題」と呼ばれ、18世紀のスイスの数学者レオンハルト・オイラーが解き明かしました。整数の足し算から、なぜ円の数が現れるのか。数学者たちを驚かせた発見でした。
データの分布にもπ
テストの点数や身長などのデータを集めると、平均のあたりがいちばん多く、平均から離れるほど少なくなる、つりがね型の分布になることがよくあります。この「正規分布」を表す式の中にも、πが含まれています。私たちの身の回りのデータの中にも、πは隠れているのです。
第8章：「世界一美しい数式」とπ
数学の世界には、「世界一美しい数式」と呼ばれることのある式があります。それが、オイラーにちなんで名づけられた「オイラーの等式」です。
eiπ ＋ 1 ＝ 0
この式には、数学でとても大切な5つの数が、たった1つの式の中に登場します。
- e（ネイピア数）：約2.718…。お金の利息の計算や、生き物の増え方などに現れる数。
- i（虚数単位）：2乗すると－1になる、想像上の数。
- π（円周率）：約3.14…。
- 1：すべての数のもととなる数。
- 0：何もないことを表す数。
まったく違う場所で生まれた、これらの数が、たった1つのシンプルな式で結びついている――。この意外さと簡潔さに、多くの数学者や数学好きの人たちが、心を奪われてきました。式の意味を理解するには、高校や大学で学ぶ数学が必要ですが、「こんなに違う数たちが、1つの式でつながっている」という不思議さだけでも、十分に味わう価値があります。
第9章：πを表す、ふしぎな公式たち
円周率をより正確に求めるために、数学者たちは、さまざまな公式を発見してきました。その中には、驚くほど美しく、ふしぎな形をしたものがあります。
ライプニッツの公式
17世紀のドイツの数学者ライプニッツらが示した公式です。
1 － 1/3 ＋ 1/5 － 1/7 ＋ 1/9 － …… ＝ π/4
奇数の逆数を、プラスとマイナスを交互に足していくと、π÷4になる、というものです。シンプルで美しい公式ですが、正確な値に近づくまでには、とても多くの項を足す必要があるため、実際の計算にはあまり向いていません。
マチンの公式
1706年に、イギリスの数学者ジョン・マチンが発見した公式は、より速く正確な値に近づくことができるため、その後、長い間、円周率の計算に使われました。マチンは、この公式を使って、円周率を小数点以下100桁まで計算したといわれています。
ラマヌジャンの公式
20世紀の初めに、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、円周率を表す、驚くほど速く正確な値に近づく公式をいくつも発見しました。ラマヌジャンは、ほとんど独学で数学を学んだといわれ、彼がどのようにしてこうした公式にたどり着いたのかは、今も多くの謎に包まれています。ラマヌジャンの公式をもとにした計算方法は、その後のコンピューターによる円周率の計算にも、大きな影響を与えました。
第10章：πは「割り切れない」だけでなく「超越」している
円周率は、小数点以下がどこまでも続き、同じ並びが繰り返されることもない数です。このような数を「無理数」といいます。円周率が無理数であることは、18世紀に、スイスの数学者ランベルトによって証明されました。
さらに、円周率は、「超越数」と呼ばれる種類の数であることも知られています。超越数とは、ざっくりいえば、整数を使ったどんな方程式を立てても、その答えとして表すことのできない数のことです。円周率が超越数であることは、1882年に、ドイツの数学者リンデマンによって証明されました。
この証明によって、古代ギリシャ以来、2000年以上にわたって数学者たちを悩ませてきた「円と同じ面積の正方形を、定規とコンパスだけでつくれるか」という問題に、ついに「つくれない」という答えが出されたのです（第4章参照）。円周率は、文字どおり、私たちの想像を「超越」した数なのです。
よくある疑問（Q&A）
Q1. 円周率は、どこかで終わる可能性はありませんか？
A. 円周率が無理数であることは、18世紀に数学的に証明されています。そのため、どこかで終わったり、同じ並びが繰り返されたりすることはありません。
Q2. 「パイ」という名前の由来は？
A. ギリシャ語で「周り」を意味する言葉の頭文字からとられたといわれています。18世紀に、数学者オイラーが使ったことで広まりました。
まとめ：終わりのない数に、人は魅せられてきた
円周率は、どんな円にも隠れている、たったひとつの数です。それなのに、どこまで計算しても終わりがない。その不思議さに魅せられて、古代から現代まで、多くの人が挑戦を続けてきました。
今日は、丸いケーキやパイを囲みながら、そんな人類の長い挑戦の物語に、思いを馳せてみてはいかがでしょうか。
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